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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 6 - Integrales

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6.5. Calcular:
d) $\int \frac{\cos(1+e^{-x}) \sin(1+e^{-x})}{e^{x}} d x$

Respuesta

Vamos a calcular ahora la integral:

$\int \frac{\cos(1+e^{-x}) \sin(1+e^{-x})}{e^{x}} d x$

Arrancamos tomando la sustitución

$u = 1 + e^{-x}$

$du = -e^{-x} \, dx = -\frac{1}{e^x} \, dx$ 

Y eso es justo lo que nos aparece en nuestra integral! Así que en términos de $u$ nos queda:

$\int \frac{\cos(1+e^{-x}) \sin(1+e^{-x})}{e^{x}} d x = \int \cos(u) \cdot \sin(u) \, (-du) = \int -\cos(u) \cdot \sin(u) \, du$

Y estamos frente a una integral que también sale por sustitución, así que tomamos:

$t = -\cos(u)$

$dt = \sin(u) \, du$

La integral en términos de $t$ nos queda

$\int -\cos(u) \cdot \sin(u) \, du = \int t \, dt$ 

y resolvemos...

$\int t \, dt = \frac{t^2}{2} + C$ 

Y ahora volvemos para atrás con las sustituciones que hicimos:

$\frac{t^2}{2} + C = \frac{(-\cos(u))^2}{2} + C = \frac{(-\cos(1+e^{-x}))^2}{2} + C$ 

y este es el resultado de la integral :)
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Avatar Nahuel 28 de mayo 15:08
Hola Profe, si tomo t= sen(u) llego al resultado correctamente? ya que me queda sen(u)/2 + c, desde ya muchas gracias
Avatar Flor Profesor 29 de mayo 09:02
@ Hola! Siiii, ese camino también es totalmente válido y llegás a una primitiva correcta! Vas a ver que tu primitiva se ve diferente a la mía, pero ambas están bien y, de hecho, si estaríamos haciendo una integral definida (o sea, si tuvieramos que aplicar Barrow después) llegaríamos al resultado correcto con ambas primitivas :)
Avatar Victor 4 de junio 13:32
profe disculpe tantas preguntas jeje pero quiero sacarme la mayor dudas sobre este metodo. primero el -e a la -x dio -e a la -x porque se multiplico por (-1) al derivarla no ? o fue por alguna otra propiedad? . y segundo, en el resultado a mi me salio con el seno porq elegi sustituir el seno en vez del coseno, y en la guia tambien , el resultado es el mismo si se elige uno o el otro ? 
Avatar Flor Profesor 4 de junio 20:19
@Victor Hola Victor! No pasa nada, acá estoy! :)

-> Te referis a cuando tomamos $u = 1 + e^{-x}$? Cuando la derivamos para obtener el $du$ nos queda $-e^{-x}$ por regla de la cadena (multiplicas por la derivada de $-x$ que es $-1$)

-> Para la segunda integral es totalmente equivalente elegir sustituir el seno o el coseno... la expresión se va a ver distinta, pero están bien los dos caminos :)
Avatar Victor 4 de junio 21:14
perfecto , entonces voy bien encaminado. gracias por contestar mis dudas profe!
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